Як дізнатися, чи має рівняння коріння та скільки їх? Простий та зрозумілий спосіб

Рівняння – це основний інструмент математики, який допомагає нам знаходити невідомі значення змінних. Можливість вирішити рівняння та знайти його коріння – це одне з найважливіших та найцікавіших завдань у математиці. Вона дозволяє нам дізнатися, чи існують рішення для заданого рівняння та скільки їх.

Під коренем рівняння ми розуміємо значення змінних, у яких рівняння стає істиною. Це може бути як одне, і кілька значень x. Знання кількості коренів рівняння допомагає нам зрозуміти її поведінку та класифікувати її.

Існує безліч різних типів рівнянь, починаючи від лінійних і квадратних, і закінчуючи складнішими, такими як трансцендентні та диференціальні рівняння. Кожен тип рівняння вимагає свого підходу до розв'язання та має свої особливості щодо кількості коренів.

Тому, щоб визначити, чи має рівняння коріння та скільки їх, необхідно застосовувати різні методи, такі як підстановка, факторизація, метод дискримінанту та інші. Знання цих методів та застосування їх у практичних завданнях дозволяють нам вирішувати рівняння та вивчати їх різні властивості.

Рівняння та його коріння

Коріння рівняння – це значення змінної, у яких рівняння виконується і стає вірним твердженням.

Для визначення коренів рівняння необхідно вирішити його, тобто знайти значення змінної, при яких рівняння буде виконано.

Кількість коренів рівняння залежить від його типу та форми.

1. Лінійне рівняння має вигляд ax + b = 0, де a та b – коефіцієнти. Таке рівняння завжди має єдиний корінь x = -b/a.

2. Квадратне рівняння має вигляд ax^2 + bx + c = 0, де a, b та c – коефіцієнти. Квадратне рівняння може мати два, один або жодного кореня. Кількість коренів залежить від значення дискримінанта D = b 2 – 4ac.

• Якщо D > 0, то рівняння має два різні корені: x₁ і x₂.
• Якщо D = 0, рівняння має один корінь: x = -b/2a.
• Якщо D < 0, то рівняння не має дійсних коренів.

3. Тричленне рівняння має вигляд ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, де a, b, c і d – коефіцієнти. Тричленне рівняння може мати різну кількість коренів залежно від своєї форми та значень коефіцієнтів.

При вивченні рівнянь важливо враховувати їх тип та методи вирішення, щоб знайти та зрозуміти значення та кількість коренів. Це дозволяє більш точно описати математичну модель і застосувати її у вирішенні різних завдань.

Як дізнатися, чи має рівняння коріння?

1. Першим кроком необхідно записати рівняння у загальному вигляді та визначити його тип:

а) Лінійне рівняння: ax + b = 0

б) Квадратне рівняння: ax^2 + bx + c = 0

в) Тригонометричне рівняння: sin(x) = 0

г) Логарифмічне рівняння: log(x) = 0

2. Потім необхідно виразити невідому величину (x) у рівнянні:

а) У лінійному рівнянні x = -b/a

б) У квадратному рівнянні x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / 2a

в) У тригонометричному та логарифмічному рівняннях необхідно застосувати відповідні методи розв'язання залежно від типу задачі.

3. Далі потрібно проаналізувати отриманий вираз на валідність:

– якщо отриманий вираз містить реальні числа, то рівняння має рішення;

– Якщо отриманий вираз містить уявні числа, то рівняння немає рішень.

Якщо в рівнянні є параметри, значення цих параметрів також можуть впливати на наявність або відсутність рішень.Тому, залежно від завдання та необхідної точності, може знадобитися застосування додаткових алгоритмів та методів розв'язання.

Що таке корінь рівняння?

Якщо рівняння має один корінь, воно називається лінійним. У цьому випадку графік рівняння є прямою лінією на координатній площині.

Якщо рівняння має два корені, воно називається квадратним. Графік такого рівняння є параболою.

Якщо рівняння має три і більше коренів, воно називається многочленом. Графік многочлена може мати різні форми, залежно від рівня рівняння.

Коріння рівняння може бути дійсними числами чи комплексними числами. Справжні коріння є числа, які можна знайти на числовій прямій. Комплексне коріння є комбінацією дійсних і уявних чисел, і їх графік неможливо уявити на числовій прямій.

Підрахунок коренів рівняння може здійснюватися різними методами, такими як графічний метод, метод підстановки або метод алгебри. Залежно від типу рівняння різні методи можуть бути більш ефективними.

Скільки коренів може мати рівняння?

Рівняння може мати різну кількість коренів залежно від його типу та коефіцієнтів.

1. Лінійне рівняння виду ax + b = 0 має єдиний корінь, який можна знайти за формулою: x = -b/a.

2. Квадратне рівняння виду ax^2 + bx + c = 0 може мати два корені, один корінь або коріння. Кількість коренів залежить від дискримінанта рівняння:

– Якщо дискримінант D > 0, то рівняння має два різні речовинні корені: x1 = (-b + sqrt(D))/(2a) і x2 = (-b – sqrt(D))/(2a).

– Якщо дискримінант D = 0, то рівняння має єдиний речовий корінь: x = -b/(2a).

3.Рівняння ступеня вище за другий може мати різну кількість коренів залежно від його характеристик та коефіцієнтів.

Важливо пам'ятати, що виявити коріння рівняння можна шляхом вирішення рівняння або аналізу його графіка.

Як визначити кількість коренів рівняння?

Для визначення кількості коренів рівняння необхідно проаналізувати дискримінант.

Дискримінант – це значення, яке обчислюється за формулою D = b^2 – 4ac, де a, b та c – коефіцієнти рівняння виду ax^2 + bx + c = 0.

• Якщо D > 0, то рівняння має два різні корені.
• Якщо D = 0то рівняння має один корінь.
• Якщо D < 0, то рівняння не має дійсних коренів.

Отже, аналізуючи значення дискримінанта, ми можемо визначити кількість коренів рівняння та його характер.

Примітка: ця формула працює тільки для квадратних рівнянь. Для лінійних рівнянь кількість коренів дорівнює одному, а рівнянь вищих ступенів необхідно використовувати інші методи рішення.

Метод дискримінанта визначення коренів рівняння

У математиці існує метод дискримінанта, який дозволяє визначити наявність коренів у квадратного рівняння та їх кількість. Для цього необхідно розглянути значення дискримінанта, який обчислюється за такою формулою:

D = b^2 – 4ac

де a, b і c – Коефіцієнти квадратного рівняння.

Якщо значення дискримінанта дорівнює нулю (D = 0), то рівняння має один дійсний корінь. І тут кажуть, що корінь кратний.

Якщо значення дискримінанта більше нуля (D > 0), то рівняння має два дійсні корені. У цьому випадку кажуть, що рівняння має різне коріння.

Метод дискримінанта дозволяє швидко і точно визначити наявність та кількість коренів квадратного рівняння, що є важливим інструментом у математичних та наукових розрахунках.

Коли рівняння має два корені?

Якщо дискримінант більший за нуль (D > 0), то рівняння має два різні корені. Один з коренів буде більшим за нуль, а другий – менше за нуль.

Наприклад, рівняння x^2 + 4x – 5 = 0 має два корені, тому що його дискримінант дорівнює 36, що більше за нуль. Коріння даного рівняння дорівнює x1 = 1 і x2 = -5.

Коли рівняння має два корені, графік квадратної функції перетинатиме вісь абсцис у двох точках.

Якщо дискримінант дорівнює нулю (D = 0), рівняння має один корінь. Наприклад, рівняння x 2 – 4x + 4 = 0 має один корінь x = 2.

Таким чином, рівняння має два корені, коли його дискримінант більший за нуль (D > 0).

Коли рівняння має один корінь?

Рівняння може мати один корінь, якщо його графік наближається до осі абсцис в одній точці. І тут кажуть, що рівняння має корінь кратності 1.

Один корінь може виникнути, якщо:

1. Квадратне рівняння має дискримінант рівний нулю. Дискримінант – це число, яке визначає кількість коренів у квадратного рівняння. Якщо дискримінант дорівнює нулю, рівняння має один корінь.
2. Вираз усередині радикалу кубічного рівняння дорівнює нулю. Якщо кубічне рівняння має нульовий вираз під коренем, він має один корінь кратності 1.
3. Лінійне рівняння з коефіцієнтами, не рівними нулю має одне рішення.

Проте слід зазначити, що у випадку рівняння може мати різні типи коренів, включаючи відсутність коренів, нескінченно багато коренів чи коріння різних кратностей.

Випадок без коріння у рівнянні

У деяких випадках рівняння може не мати коріння.Це означає, що жодне значення змінної x не задовольняє умов рівняння.

Одним із прикладів такого випадку є рівняння з квадратним коренем, що містить негативне число під радикалом. Коли від'ємне число під коренем, рішень у рівняння немає, тому що квадратний корінь із від'ємного числа не визначений в ділянці дійсних чисел.

Іншим прикладом може бути рівняння, що суперечить математичним правилам. Наприклад, рівняння 2x = x + 1 призводить до нерівності x = 1, що суперечить вихідному рівнянню, оскільки рівність не виконується.

Важливо відзначити, що відсутність коренів у рівнянні не означає, що воно є некоректним чи недійсним. Просто в деяких випадках рівняння немає рішень, і це може бути важливою інформацією при вирішенні математичних завдань.

Що робити, якщо рівняння має безліч коренів?

Як визначити, що рівняння має нескінченну кількість коренів? Якщо умова рівняння виконується всім значень змінної, це означає, що рівняння має нескінченно багато коренів. Наприклад, розглянемо рівняння x^2 = x^2. Тут будь-яке значення змінної x буде коренем, оскільки обидва члени рівняння рівні між собою.

Якщо рівняння має нескінченно багато коренів, його рішення перестав бути конкретним числом чи набором чисел. Натомість, рішення представляється формулою або умовою, яка вказує на безліч можливих значень для змінної.

Якщо ви стикаєтеся з рівнянням, яке може мати нескінченно багато коренів, важливо розуміти його особливості та контекст, у якому воно виникає.У деяких випадках такі рівняння можуть бути використані для опису деяких закономірностей, властивостей або математичних моделей.

У математиці зустрічаються різноманітні рівняння. Їх завжди потрібно вирішувати, тобто шукати всі числа, які зроблять його правильною рівністю. Шляхи пошуку рішень визначаються початковим видом рівняння. Від нього буде залежати і кількість вірних значень змінної, які позначаються, як корінь рівняння. Це число може змінюватись від нуля до нескінченності.

Що мається на увазі під рівнянням та його коренем?

З назви зрозуміло, що вона дорівнює двох величин, які можуть бути представлені числовими або буквеними виразами. Крім того, вони містять ще невідомі величини. Найпростіше рівняння має лише одну.

Видів рівнянь велика кількість, але поняття кореня для них завжди одне й те саме. Корінь рівняння — це значення невідомого числа, у якому рівняння приймає стає правильною рівністю. Бувають ситуації, коли таких чисел кілька, тоді невідома називається змінною.

Пошук усіх можливих коренів рівняння є його розв'язком. Тобто потрібно виконати низку математичних дій, що його спрощують. А потім призводять до рівності, в якій міститься лише невідома та якась кількість.

В алгебрі при вирішенні рівнянь можна дійти такої ситуації, що коріння не буде зовсім. Тоді говорять про те, що воно нерозв'язне. А у відповіді такого рівняння слід записати, що рішень немає.

Але іноді буває й протилежне. Тобто в процесі численних перетворень з'являються сторонні корені. Вони не дадуть правильної рівності при підстановці.Тому числа завжди потрібно перевіряти, щоб уникнути ситуації із зайвим корінням у відповіді. Інакше рівняння не вважатиметься вирішеним.

Про лінійне рівняння

Воно завжди може бути перетворено на запис наступного виду: а * х + в = 0. У ньому «а» завжди не дорівнює нулю. Щоб зрозуміти скільки коренів має рівняння, його потрібно вирішити у загальному вигляді.

• перенести на праву частину рівності доданок «в», замінивши його знак на протилежний;
• розділити обидві частини рівності, що вийшла, на коефіцієнт «а».

З нього ясно, що відповіддю буде одне число. Тобто лише один корінь.

Квадратне рівняння

Його загальний вигляд: а * х 2 + в * х + с = 0. Тут коефіцієнти є будь-якими числами, крім першого, «а», яке не може дорівнювати нулю. Адже тоді воно автоматично перетвориться на лінійне. Відповідь на питання, скільки коренів має рівняння, вже не буде такою однозначною, як це було в попередньому випадку.

Все залежатиме від значення дискримінанта. Він обчислюється за формулою Д = 2 – 4 а * с. Після розрахунків «Д» може вийти більше, менше або дорівнює нулю. У першому випадку коріння рівняння буде два, у другому відповіддю буде «коріння немає», а третя ситуація надасть лише одне значення невідомої.

Формули, які використовують для знаходження коренів квадратного рівняння, та містять дискримінант

У випадку, коли «Д» позитивне число, не дорівнює нулю, потрібно використовувати таку формулу:

Тут завжди вийде дві відповіді. Це з тим, що у вихідної формулі стоїть знак «плюс/мінус». Він суттєво змінює значення невідомої.

При рівності "Д" нулю корінь рівняння – це однина. Просто тому, що квадратний корінь з нуля дорівнює нулю. Отже, додавати і віднімати потрібно буде нуль. Від цього кількість не зміниться.Тому формулу кореня рівняння можна записати без згадки "Д":

х = (-в) / (2 * а).

При негативному значенні дискримінанта витягти з нього квадратний корінь неможливо. Тому коріння такого рівняння не матиме.

Зауваження. Це правильно для курсу шкільної програми, у якій вивчаються комплексні числа. Коли вони вводяться, виходить, що і в цій ситуації відповідей буде дві.

Формули для розрахунку коренів квадратного рівняння, які не використовують дискримінант

Йдеться про теорему Вієта. Вона дійсна у разі, коли квадратне рівняння записується у дещо іншому вигляді:

х 2 + в * х + с = 0.

Тоді формула коренів квадратного рівняння зводиться до того, щоб виконати рішення двох лінійних:

Воно вирішується за рахунок того, що з першого виводиться вираз для одного з коренів. І це значення слід підставити у друге. Так буде знайдено друге коріння, а потім перший.

До цього варіанта завжди можна дійти загального виду квадратного рівняння.

Достатньо лише розділити всі коефіцієнти на «а».

Як бути, якщо потрібно дізнатись найменше значення кореня?

Вирішувати рівняння та знаходити всі можливі числа, які підійдуть для відповіді. А потім вибрати щонайменше. Це і буде найменший корінь рівняння.

Найчастіше такі питання зустрічаються в завданнях, які мають ступінь більший, ніж 2, або містять тригонометричні функції. Прикладом, коли потрібно знайти найменший корінь, може бути така рівність:

2 x 5 + 2 x 4 – 3 x 3 – 3 x 2 + x + 1 = 0.

Щоб знайти кожне значення, яке можна назвати "корінь рівняння", цю рівність потрібно перетворити. Перша дія: згрупувати його члени попарно: перший із другим тощо.Потім із кожної пари винести спільний множник.

У кожній дужці залишиться (х+1). Загальним множником у першій із пар буде 2 х 4 , у другій 3 х 2 . Тепер знову потрібно виконати винесення загального множника, яким буде однакова дужка.

Після множника (х + 1) стоятиме (2 х 4 – 3 х 2 + 1). Добуток двох множників дорівнює нулю, тільки якщо один з них набуває значення, що дорівнює нулю.

Перша дужка дорівнює нулю за х = -1. Це буде одним із коренів рівняння.

Інші будуть отримані з рівняння, утвореного другою дужкою, прирівняною до нуля. Воно біквадратне. Для його вирішення потрібно зазначити позначення: х 2 = у. Тоді рівняння суттєво зміниться і набуде звичного вигляду квадратного рівняння.

Його дискримінант дорівнює Д = 1. Він більший за нуль, значить коренів буде два. Перший корінь виявляється рівним 1, другий буде 0,5. Але це значення для "у".

Потрібно повернутися до введеного позначення. х_1,2 = ± 1, х_3,4 = ± √0,5. Усі коріння рівняння: -1; 1; -√0,5; √0,5. Найменший із них – -1. Це відповідь.

Як висновок

Нагадування: всі рівняння потрібно перевіряти на те, чи підходить корінь. Можливо, він сторонній? Варто здійснити перевірку запропонованого прикладу.

Якщо підставити спочатку це рівняння замість "х" одиницю, то виходить, що 0 = 0. Цей корінь вірний.

Якщо х = -1, то виходить такий самий результат. Корінь теж підходящий.

Аналогічно, при значеннях "х" рівних -0,5 і 0,5 знову виходить правильна рівність. Усі коріння підходять.

Цей приклад не дав стороннього коріння. Таке буває не завжди. Цілком могло виявитися, що найменше значення не пасувало б під час перевірки. Тоді довелося б вибирати з тих, що залишилися.

Висновок: треба пам'ятати про перевірку та уважно підходити до рішення.

Рівнянням називають рівність, у якій одна із змінних невідома, і її потрібно знайти. Значення цієї невідомої має бути таким, щоб рівність була правильною.

Наприклад: 3+4=7 це числова рівність, при обчисленні якого з лівого боку виходить 7=7.

Рівнянням буде називатися така рівність: 3+х=7, оскільки є невідома змінна х, її значення можна знайти.

З цього рівняння випливає, що змінна х=4, лише за його значення рівність 3+х=7, буде правильним.

Невідомі змінні прийнято писати як маленьких латинських букв, можна будь-якими, але частіше використовують x,y,z.

Виходить, щоб рівність зробити рівнянням необхідно, щоб у ньому була буква, значення якої невідоме.

Як ми розуміємо, існує безліч прикладів рівнянь з різними арифметичними діями.

Приклад: х + 5 = 1 = 9; z – 2 = 7; 9 * y = 18, 6: f = 2

Крім цього, існують рівняння з дужками. До таких рівнянь відноситься 8 : (х – 4) = 2 * (8 – х), невідомих може бути кілька, вони можуть бути як зліва рівняння, так і праворуч або в обох частинах.

Крім таких простих рівнянь вони можуть бути з корінням, логарифмами, ступенями тощо.

Рівняння може містити кілька змінними, тоді їх прийнято називати відповідно рівняннями з двома, трьома і більш змінними.

3 * а = 15 : х – рівняння з двома змінними:

8 – а = 5 * х – z – рівняння з трьома змінними.

Корінь рівняння

Ми часто чуємо фразу під час уроків математики, «знайдіть корінь рівняння», давайте розберемося, що це значить.

У прикладі 3+х=7, можна уявити замість букви число, і рівняння тоді стане рівністю, воно може бути або вірним, або невірним, якщо поставити х=3, то первинна рівність набуде вигляду 3+3 = 7 і стане невірною, а якщо х = 4 то рівність 3 + 4 = 7 буде вірним, а значить х = 4 буде називатися корінням або інакше рішенням рівняння 3+х=7.

Визначення.

Звідси можна виділити таке визначення: корінь рівняння — це таке значення невідомої змінної, коли числова рівність буде вірним.

Варто відзначити, що коренів може бути кілька або зовсім не бути.

Розглянемо докладніше приклад, який не матиме коріння. Таким прикладом стане 0 * х = 7, скільки б чисел ми сюди не підставляли рівність не буде вірним, оскільки помножуючи на нуль буде нуль, а не 7.

Але існують і рівняння з множиною коренів, наприклад, х – 3 = 6, в такому рівнянні тільки один корінь 9, а в рівнянні квадратного вигляду х2 = 16, два корені 4 і -4, можна навести приклад і з трьома коренями х * (х – 1) * (х – 2) = 0, в даному випадку три рішення нуль, два і один.

Щоб правильно записати результат рівняння ми пишемо так:

• Якщо кореня немає, пишемо рівняння коренів немає;
• Якщо є їх кілька, вони або прописуються через коми, або у фігурних дужках, наприклад, так: ;
• Ще одним варіантом написання коренів, вважається запис у вигляді простої рівності, наприклад невідома х а коріння 3,5 тоді результат прописується так: х = 3, х = 5.
• або додаючи індекс знизу 1 = 3, х2 = 5. даним способом вказується номер кореня;
• Якщо рішень рівняння безліч, то запис буде або у вигляді числового проміжку від і до, або загальноприйнятими позначеннями. безліч натуральних чисел N, цілих – Z, дійсних – R.

Якщо рівняння має два і більше коренів, то частіше використовується поняття рішення рівняння. Розглянемо визначення рівняння з кількома змінними.

Рішення рівняння з двома і більше змінними означає, що ці кілька значень перетворюють рівняння на правильну рівність.

Припустимо, що ми маємо наступне рівняння х + а = 5, таке рівняння має дві змінні. Якщо ми поставимо замість них числа 3 і 6, то рівність не буде вірною, відповідно і дані числа не є рішенням для цього прикладу. А якщо взяти числа 2 і 3, то рівність перетвориться на вірну, а числа 2 і 3 будуть рішенням рівняння. Представлені рівняння з декількома змінними теж можуть або не мати кореня взагалі або навпаки мати безліч рішень.

Правила знаходження коріння

Таких правил існує дещо розглянемо їх нижче.

Приклад 1

Допустимо, ми маємо рівняння 4 + х = 10, щоб знайти корінь рівняння або значення х в даному випадку необхідно знайти невідоме доданок, для цього є наступне правило або формула. Для знаходження невідомого доданка, потрібно від суми відняти відоме значення.

Рішення:

Щоб перевірити, чи є 6 рішенням, ми ставимо його на місце невідомої змінної х у вихідне рівняння, отримуємо наступну рівність 4 + 6 = 10, така рівність є вірною, що означає число кореня рівняння, що дорівнює 6.

Приклад 2

Візьмемо рівняння виду х – 5 = 3, в даному прикладі х це невідоме зменшуване, для того щоб його знайти необхідно дотримуватися наступного правила:

Для знаходження зменшуваного необхідно скласти різницю та віднімання.

Рішення:

Перевіряємо правильність знаходження кореня рівняння, підставляємо, замість змінної невідомої, знайдене число 8, отримуємо рівність 8 – 5 = 3, оскільки воно правильне, то й корінь рівняння знайдено правильно.

Приклад 3

Беремо рівняння, в якому невідоме х буде віднімати наприклад: 8 – х = 4. для того щоб знайти х необхідно скористатися правилом:

Для знаходження віднімається, потрібно зменшуваного відняти різницю.

Рішення:

Перевіряємо правильність знаходження кореня рівняння, для цього отримане значення ставимо замість невідомого віднімається у вихідний приклад, і отримуємо наступну рівність 8 – 4 = 4, рівність вірна, значить і корінь знайдено правильно.

Нема часу вирішувати самому?